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현대 수학의 아버지로 불리는 다비드 힐베르트
다비드 힐베르트는 1862년부터 1943년까지 살았던 독일의 수학자였다. 그는 20세기의 가장 영향력 있는 수학자 중 한 명으로 널리 알려져 있으며 대수학, 수론, 기하학, 수학 물리학을 포함한 광범위한 수학 분야에 중요한 공헌을 했다. 힐베르트는 프로이센의 쾨니히스베르크(현재의 러시아 칼리닌그라드)에서 태어나 쾨니히스베르크 대학교에서 헤르만 폰 헬름홀츠, 프리드리히 리첼로트, 아돌프 후르비츠와 같은 저명한 수학자들과 수학을 공부했다. 1884년 후르비츠의 지도 아래 박사 학위를 받았다. 힐베르트는 괴팅겐 대학교를 포함한 여러 대학에서 교수직을 맡았다. 그는 모든 수학의 기초를 확립하기 위한 일련의 문제들인 힐베르트 프로그램의 공식화를 포함하여 수학적 기초에 대한 그의 연구로 가장 잘 알려져 있다. 이 프로그램은 수학의 기본 개념과 공리를 공식화함으로써 수학을 견고하고 논리적인 기초 위에 놓는 것을 목표로 했다. 힐베르트는 그의 기초적인 연구 외에도 대수학, 수론, 기하학에 중요한 기여를 했다. 그는 또한 수학 물리학, 특히 일반 상대성 이론에 대한 알베르트 아인슈타인과의 협력으로 유명하다. 힐베르트는 1905년 볼라이상, 1908년 실베스터 메달, 1930년 코플리 메달을 포함한 수학에 대한 공헌으로 수많은 상과 명예를 얻었다. 그는 또한 런던의 왕립 학회, 프로이센 과학 아카데미, 미국 국립 과학 아카데미를 포함한 여러 아카데미의 회원이었다. 1943년 독일 괴팅겐에서 81세의 나이로 사망했다.
힐베르트 프로그램에 대하여
힐베르트 프로그램(Hilbert Program)은 20세기 초에 데이비드 힐베르트가 제안한 일련의 문제들이다. 이 프로그램의 목표는 기본 개념과 공리의 일관성과 완전성을 확립함으로써 모든 수학에 엄격하고 논리적인 기초를 제공하는 것이었다.힐베르트는 수학적 지식은 증명이 필요 없는 자명한 진리인 일련의 공리에 기초해야 한다고 믿었다. 그는 모든 수학이 유한한 공리들과 논리적 규칙들로부터 파생될 수 있으며, 이러한 공리들의 일관성과 완전성을 증명할 수 있다고 제안했다.
힐베르트 프로그램은 크게 세 부분으로 나뉜다.
- 수학의 공리화: 이것은 수학의 각 분야, 즉 수론, 기하학, 대수학과 같은 공리들의 집합을 식별하는 것을 포함한다. 힐베르트는 이 모든 가지들이 공리화될 수 있으며, 공리들은 일관되고 완전한 것으로 보일 수 있다고 믿었다.
- 수학의 공식화: 이것은 공리와 논리적 규칙에 기초한 수학의 공식적인 체계를 개발하는 것을 포함했다. 목표는 수학적 증명이 정확한지 기계적으로 확인할 수 있도록 완전히 정확하고 모호함이 없는 시스템을 만드는 것이었다.
- 일관성 증명: 이것은 수학의 공리들이 일관성이 있다는 것을 보여주는 것을 포함했는데, 이것은 그것들이 어떠한 모순으로도 이어지지 않았다는 것을 의미한다. 힐베르트는 이것이 어떤 수학적 체계가 완전하다는 것을 증명함으로써 이루어질 수 있다고 믿었는데, 이는 어떤 진술도 체계 내에서 증명되거나 반증될 수 있다는 것을 의미한다
힐베르트의 프로그램은 수학 논리학과 집합론의 발전에 큰 영향을 미쳤으며, 수학 철학에 지대한 영향을 미쳤다. 그러나 쿠르트 괴델의 불완전성 정리는 어떤 형식 체계도 일관적이고 완전할 수 없다는 것을 보여주었기 때문에 결국 불완전하다는 것을 보여주었다. 그럼에도 불구하고, 힐베르트 프로그램은 수학 역사의 중요한 부분으로 남아있으며, 기초 수학의 연구에 계속해서 영향을 미치고 있다.
마치며
힐베르트는 80세때에 길에서 넘어져 다친 후에 병발증이 발생하여 2차 세계대전이 한창이던 1943년 2월 14일 81세로 사망했다. 힐베르트의 묘비에는 그가 은퇴할때 했던 고별 연설의 마지막에 남긴 유명한 구절이 적혀있다
우리는 알아야만 한다. 우리는 알게 될 것이다.
현재 힐베르트가 제시한 23가지의 문제중 15가지만 해결이 된 상태이며 많은 수학을 연구하는 사람들이 남은 8가지 문제를 해결하기 위해 노력하고 있다.