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리만은 누구인가?
리만은 19세기말과 20세기 초 독일의 수학자로, 대수학, 해석학, 수리물리학 분야에서 기여한 것으로 유명하다. 그의 이름은 국제적으로 리만 가설(Riemann Hypothesis)과 리만 기하학(Riemannian geometry) 등과 연결되어 널리 알려져 있다. 리만의 가장 중요한 업적 중 하나는, 복소함수 이론 분야에서의 연구다. 리만은 복소평면에서의 복소함수를 분석하면서, 복소함수의 영점, 극점, 최댓값 등을 연구했다. 그 결과, 복소함수의 성질을 이해하는 데 있어서 중요한 개념인 리만 표면(Riemann surface)과 리만 매개변수(Riemann parameter) 등을 도입하였다. 또한 리만은 해석학 분야에서도 활약했는데 특히, 적분이나 미분이 언제나 가능한 것은 아니라는 것을 밝히는데 큰 기여를 했다. 리만은 헤비사이드 함수(Heaviside function)와 디리클레 가우스 적분(Dirichlet-Gauss integral) 등을 연구하면서, 이러한 함수들이 일반적인 적분의 형태를 갖지 않는다는 것을 증명했다. 마지막으로, 리만은 수리물리학 분야에서도 활약했다. 리만은 공간의 기하학적 성질을 수학적으로 다루는 데 있어서, 리만 기하학이라는 새로운 분야를 개척했다. 이 분야는 일반상대성이론(General Theory of Relativity) 등의 현대 물리학 이론에 중요한 역할을 하고 있다.
리만이 살았던 시대적 배경
리만이 살던 시대는 19세기 후반부터 20세기 초반으로, 산업혁명이 발생하면서 세계적으로 기술과 경제의 변화가 이루어졌던 시기였다. 특히 유럽에서는 1차 세계 대전 직전인 1900년경, 철도망과 통신망이 급격하게 발전하면서 사회경제적으로도 대단한 변화가 있었다. 이 시기에는 과학기술 분야에서도 발전이 이루어졌다. 전기와 자기의 상호작용을 연구한 맥스웰(Maxwell)의 전자기학 이론, 빛의 성질을 연구한 플랑크(Planck)의 양자론, 물리학의 기초를 다지게 된 아인슈타인(Einstein)의 일반상대성이론 등이 이 시기에 등장하였다. 이러한 발전은 현대 과학기술 발전의 초석이 되었으며, 이러한 시대적 배경 속에서 리만은 수학적 연구를 이끌어내며, 혁신적인 아이디어와 결과를 만들어 냈다.
리만 가설(Riemann Hypothesis)
리만가설(Riemann Hypothesis)은 리만이 1859년에 발표한, 소수들의 분포에 관한 가설이다. 소수는 자연수 중에서 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수를 의미하며, 소수의 분포는 오래전부터 수학자들의 관심사였다. 리만가설은 "모든 비자명 제로(non-trivial zero)가 1/2+it 형태를 갖는다"는 내용을 담고 있다. 이는 단순하게 설명하면, 소수들의 분포를 설명하는 함수(리만 제타 함수)가 어떤 특정한 규칙에 따라 어떤 지점에서만 "0" 이 되는 것이 아니라, 어떤 복소수 평면상에서의 직선 모양의 분포를 갖는다는 것을 의미한다. 이러한 분포는 소수의 분포와 밀접한 연관이 있으며, 이 가설이 참이라면 소수의 분포에 대한 이론을 더욱 발전시킬 수 있을 것이다. 리만가설은 매우 중요하고 영향력 있는 수학적 가설 중 하나다. 그 중요성은 100만 달러의 상금이 걸려 있는 밀레니엄 문제(Millennium Prize Problems) 중 하나로 선정되었으며, 지금까지도 많은 수학자들이 이 가설을 입증하기 위한 연구를 하고 있다. 그러나 아직까지도 이 가설의 증명은 이루어지지 않았다.
리만 기하학(Riemannian geometry)
리만기하학(Riemannian geometry)은 칼르만학(Kähler geometry), 로렌츠기하학(Lorentzian geometry), 유클리드기하학(Euclidean geometry)과 함께 대표적인 기하학의 한 분야다. 리만기하학은 독일 수학자 베른하르트 리만(Bernhard Riemann)의 이름에서 유래한 학문으로, 곡면 위의 거리, 각도 및 부피와 같은 개념을 다룬다. 따라서 이러한 개념은 일반적인 유클리드 공간에서와는 달리 곡면 위에서는 일반적으로 다르게 정의된다. 리만기하학은 일반상대성이론(General theory of relativity)과 같은 중력이나 물리학에서의 다양한 문제들을 해결하는 데 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 중력이 작용하는 대규모 천체나 곡면의 형태, 우주의 대규모 구조, 블랙홀 등을 다룰 때, 이론적 배경으로 리만기하학을 사용한다. 리만기하학은 또한 기하학의 일반적인 이론과도 관련이 있습니다. 따라서, 곡면에서의 미분기하학, 미적분학, 해석학 등 다양한 분야에서 활용되고 있다.